Orthogonal \(X^\perp\) de \(X\subset E\) avec \(E\)
Ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de \(X\). $$X^\perp=\{y\in E\mid\forall x \in X,x\perp y\}$$

• structure : Sous-espace vectoriel
  fermé de \(E\)
• \(A\subset B\implies\) \(B^\perp\subset A^\perp\)
• \((X^\perp)^\perp\) \(\supset X\)
    
• si \(E\) est un Espace de Hilbert (ou Espace euclidien), alors \((X^\perp)^\perp=\) \(\overline{\operatorname{Vect}(X)}\)
• relation avec d'autres orthogonaux : \(X^\perp=(\overline X)^\perp=(\operatorname{Vect}(X))^\perp\)
• \(\operatorname{dim}(X^\perp)\) \(=\operatorname{dim}(E)-\operatorname{dim}(X)\)
• si \(X\) est un sous-espace fermé de \(H\), on a : $$\begin{cases} X+X^\perp=H\\ X\cap X^\perp=\{0\}\\ (X^\perp)^\perp=X\end{cases}$$

Questions de cours

Montrer que si \(X\) est un sous-espace fermé de \(H\), alors $$X+X^\perp=H$$

On définit la projection orthogonale sur \(X\) comme le minimiseur de la norme de la différence sur \(X\).

L'unicité de la décomposition vient de \(\langle{z-p_X(z),z^\prime-p_X(z)}\rangle =0\).

Montrer que si \(X\) est un sous-espace fermé de \(H\), alors $$X\cap X^\perp=\{0\}$$

Cela vient du fait qu'un élément dans l'intersection a un produit scalaire nul avec lui-même.

Montrer que si \(X\) est un sous-espace fermé de \(H\), alors $$(X^\perp)^\perp=X$$

L'une des inclusions est triviale.

L'autre inclusion s'obtient en décomposant \(z\in(X^\perp)^\perp\) dans \(X+X^\perp\) \(\to\) l'un des composants est dans \((X^\perp)^\perp\cap X^\perp\), donc est nul.